Algebraische Grundlagen by Professor Dr. Reinhold Pfeiffer, Dr. Heidemarie Borgwadt

By Professor Dr. Reinhold Pfeiffer, Dr. Heidemarie Borgwadt (auth.)

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Beispiele: Weisen Sie nach, daß die folgenden Kleiner-Beziehungen wahre Aussagen sind: a) 3-9 <3-6 b) 5-8<7-2 c) 9-5<10-3 Lösungen: zu a) 3 + 6 < 3 + 9, also - 6 < - 3 zu b) 5 + 2 < 7 + 8, also - 3< 5 zu c) 9 + 3 <10 + 5, also 4 < 7 Hinweise Für zwei negative ganze Zahlen a und b gilt: a < b genau dann, wenn I a I > I b I . Beispiel: - 10 < - 8, denn 1- 10 I > 1- 81 Eine negative ganze Zahl ist stets kleiner als eine positive ganze Zahl. Die neue Zahlenmenge wurde eingeführt, um die Umkehrung der Addition, die Subtraktion, uneingeschränkt durchführen zu können.

39 4. Es existiert kein neutrales Element bezüglich des Potenzierens! Behauptung: Es gibt keine natürliche Zahl n, so daß an =a und gleichzeitig na =a. Die natürliche Zahl n =1 erfüllt zwar die Gleichung a 1 =a für jedes beliebige a, aber die Gleichung l a =a ist nur dann eine wahre Aussage, wenn a =1. Rechtsneutrales Element Jede Potenz mit dem Exponenten ,,1" ist identisch mit der Basis. Man bezeichnet die natürliche Zahl 1 als "rechtsneutrales Element" des Potenzierens. Beachten Sie, daß es kein "linksneutrales Element" des Potenzierens gibt.

An =x Bezeichnungen a: Basis n: Exponent x: Potenz a hoch n Das Potenzieren führt man zurück auf das Multiplizieren von natürlichen Zahlen. • a (n-mal) Das Potenzieren von natürlichen Zahlen ist somit ein Sonderfall des Multiplizierens. Analog zu den Überlegungen bei den Rechenoperationen Addition und Multiplikation sollen jetzt einige Gesetzmäßigkeiten für das Potenzieren überprüft werden. Eigenschaften des Potenzierens auf der Menge IN: Eigenschaften 1. Abgeschlossenheit Ist die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich des Potenzierens abgeschlossen?

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